Exercice de régression linéaire et logarithmique
Voici les données de dépréciation du véhicule :
| Âge \(x_i\) (en années) | Prix \(y_i\) (en €) |
|---|---|
| 0 | 44000 |
| 2 | 28160 |
| 5 | 14400 |
| 7 | 9400 |
| 10 | 4700 |
| 12 | 3000 |
| 15 | 1600 |
On calcule les moyennes :
\[ \bar{x} = \frac{0 + 2 + 5 + 7 + 10 + 12 + 15}{7} = \frac{51}{7} \approx 7{,}29 \]
\[ \bar{y} = \frac{44000 + 28160 + 14400 + 9400 + 4700 + 3000 + 1600}{7} = \frac{104260}{7} \approx 14894{,}29 \]
La droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés est obtenue par :
\[ a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \]
Après calculs, on trouve :
\[ a \approx -2827, \quad b \approx 36642 \]
Donc la droite est :
\[ y = -2827x + 36642 \]
On pose \( z_i = \log_{10}(y_i) \), ce qui donne :
| Temps \(t_i\) | Prix \(y_i\) | \(z_i = \log_{10}(y_i)\) |
|---|---|---|
| 0 | 44000 | 4{,}643 |
| 2 | 28160 | 4{,}450 |
| 5 | 14400 | 4{,}158 |
| 7 | 9400 | 3{,}973 |
| 10 | 4700 | 3{,}672 |
| 12 | 3000 | 3{,}477 |
| 15 | 1600 | 3{,}204 |
Régression affine de \(z = at + b\) :
\[ a \approx -0{,}096, \quad b \approx 4{,}63 \Rightarrow z = -0{,}096t + 4{,}63 \]
Donc :
\[ y = 10^z = 10^{-0{,}096t + 4{,}63} \]
Pour \( y = 10000 \), on cherche \( t \) tel que :
\[ \log_{10}(10000) = 4 = -0{,}096t + 4{,}63 \Rightarrow t = \frac{0{,}63}{0{,}096} \approx 6{,}56 \]
Le modèle exponentiel fournit une approximation plus réaliste, car la dépréciation est plus rapide au début. Il est donc préférable au modèle linéaire pour estimer la durée optimale de conservation du véhicule.